Дифференциальное исчисление · Шпаргалка

Таблица производных и правила дифференцирования

Универсальная шпаргалка по нахождению производных для студентов и старшеклассников: формулы для простых функций, формулы для сложного аргумента $u(x)$ и основные правила.

Базовые законы

Основные правила дифференцирования

Пусть $u = u(x)$ и $v = v(x)$ — дифференцируемые функции, а $c$ — постоянный множитель:

Правило	Математическая формула	Пояснение
Производная константы	$$(C)' = 0$$	Производная любого постоянного числа равна 0
Вынесение постоянного множителя	$$(c \cdot u)' = c \cdot u'$$	Константа выносится за знак производной
Производная суммы и разности	$$(u \pm v)' = u' \pm v'$$	Дифференцируется каждое слагаемое отдельно
Производная произведения	$$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$	Формула Лейбница для двух сомножителей
Производная частного (дроби)	$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$	В числителе знак минус, знаменатель в квадрате
Сложная функция (цепное правило)	$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$	Производная внешней умножается на производную внутренней

Таблица производных основных элементарных функций

Полная таблица

Тип функции	Простой аргумент $x$	Сложный аргумент $u = u(x)$
Степенные функции
Линейная	$$(x)' = 1$$	$$(u)' = u'$$
Степенная ($n \in \mathbb{R}$)	$$(x^n)' = n x^{n-1}$$	$$(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$$
Квадратный корень	$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$	$$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$
Обратная пропорциональность	$$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$$	$$\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$$
Показательные и логарифмические функции
Экспонента	$$(e^x)' = e^x$$	$$(e^u)' = e^u \cdot u'$$
Показательная ($a > 0$)	$$(a^x)' = a^x \ln a$$	$$(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$$
Натуральный логарифм	$$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$	$$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$$
Логарифм по основанию $a$	$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$	$$(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$$
Тригонометрические функции
Синус	$$(\sin x)' = \cos x$$	$$(\sin u)' = \cos u \cdot u'$$
Косинус	$$(\cos x)' = -\sin x$$	$$(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$$
Тангенс	$$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$	$$(\operatorname{tg} u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$$
Котангенс	$$(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$$	$$(\operatorname{ctg} u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}$$
Обратные тригонометрические функции
Арксинус	$$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$	$$(\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$
Арккосинус	$$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$	$$(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$
Арктангенс	$$(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$$	$$(\operatorname{arctg} u)' = \frac{u'}{1 + u^2}$$
Арккотангенс	$$(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$$	$$(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{u'}{1 + u^2}$$

Примеры нахождения производных с пояснениями

Пример 1

Найти производную сложной функции $y = \sin(3x^2 + 5)$

Шаг 1. Определяем внешнюю и внутреннюю функцию:

Внешняя функция: $\sin(u)$, где внутренний аргумент $u = 3x^2 + 5$.

Шаг 2. Применяем цепное правило $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$:

$$y' = (\sin(3x^2 + 5))' = \cos(3x^2 + 5) \cdot (3x^2 + 5)'$$

Шаг 3. Дифференцируем внутреннюю часть $(3x^2 + 5)' = 3 \cdot 2x + 0 = 6x$:

$$y' = \cos(3x^2 + 5) \cdot 6x = 6x \cos(3x^2 + 5)$$

Ответ: $y' = 6x \cos(3x^2 + 5)$

Пример 2

Найти производную дроби $y = (x^2 - 1) / (x^2 + 1)$

Шаг 1. Применяем формулу частного:

$$y' = \frac{(x^2 - 1)' \cdot (x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2}$$

Шаг 2. Вычисляем производные числителя и знаменателя $(x^2 - 1)' = 2x$, $(x^2 + 1)' = 2x$:

$$y' = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$$

Ответ: $y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

Справка & Теория

Часто задаваемые вопросы о нахождении производных

Ответы на популярные вопросы и теоретические нюансы для правильного оформления в тетради

Чему равна производная константы?

Производная любой постоянной величины (числа) равна нулю: (C)' = 0. Например, (7)' = 0, (π)' = 0, (-3.14)' = 0.

Какова формула производной произведения двух функций?

Производная произведения вычисляется по формуле: (u · v)' = u' · v + u · v'. Сначала дифференцируем первый сомножитель и умножаем на второй, затем прибавляем первый сомножитель, умноженный на производную второго.

Как правильно найти производную дроби?

Формула производной частного: (u / v)' = (u' · v - u · v') / v². Главное правило — в числителе стоит знак минус, а знаменатель возводится в квадрат.

Как работает правило дифференцирования сложной функции?

По цепному правилу: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). Находим производную внешней функции по её сложному аргументу и умножаем на производную внутренней функции.

В чем геометрический смысл производной?

Значение производной функции f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке: f'(x₀) = k = tg(α).