Математический анализ · Пределы функций

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин

Главный инструмент для быстрого раскрытия неопределенностей вида [0/0] без применения правила Лопиталя и громоздких вычислений.

Теоретическая основа

Определение эквивалентности

Функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются бесконечно малыми при $x \to x_0$, если $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$ и $\lim_{x \to x_0} \beta(x) = 0$.

$$\alpha(x) \sim \beta(x) \quad \text{при} \quad x \to x_0 \iff \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$$

Знак «$\sim$» читается как «эквивалентно». Если предел отношения равен единице, одну бесконечно малую можно заменять на другую в произведениях и дробях.

Сводная таблица основных эквивалентностей при $x \to 0$

Шпаргалка
Исходная функция Эквивалентная величина при $x \to 0$ Примечание / Следствие
$$\sin x$$ $$\sim x$$ Первый замечательный предел
$$\operatorname{tg} x$$ $$\sim x$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \sim x$$
$$\arcsin x$$ $$\sim x$$ Обратная тригонометрия
$$\operatorname{arctg} x$$ $$\sim x$$ Обратная тригонометрия
$$1 - \cos x$$ $$\sim \frac{x^2}{2}$$ Очень частая замена в типовиках
$$\operatorname{tg} x - \sin x$$ $$\sim \frac{x^3}{2}$$ Следствие формулы тангенса
$$e^x - 1$$ $$\sim x$$ Второй замечательный предел
$$a^x - 1$$ $$\sim x \ln a$$ Для любого основания $$a > 0, a \neq 1$$
$$\ln(1 + x)$$ $$\sim x$$ Натуральный логарифм
$$\log_a(1 + x)$$ $$\sim \frac{x}{\ln a}$$ Логарифм по произвольному основанию
$$(1 + x)^m - 1$$ $$\sim m x$$ Степенная функция ($$m \in \mathbb{R}$$)
$$\sqrt{1 + x} - 1$$ $$\sim \frac{x}{2}$$ Частный случай степени $$m = 1/2$$
$$\sqrt[n]{1 + x} - 1$$ $$\sim \frac{x}{n}$$ Частный случай степени $$m = 1/n$$
Обобщение на сложный аргумент

Правило подстановки аргумента $\alpha(x) \to 0$

В реальных заданиях аргументом функции редко бывает просто $x$. Вместо $x$ может стоять любое выражение $\alpha(x)$, главное условие — чтобы при предельном переходе оно стремилось к нулю ($\alpha(x) \to 0$):

$$\sin(5x) \sim 5x$$
при $x \to 0$
$$e^{x^2} - 1 \sim x^2$$
при $x \to 0$
$$\ln(1 + 3x) \sim 3x$$
при $x \to 0$
$$1 - \cos(4x) \sim \frac{(4x)^2}{2} = 8x^2$$
при $x \to 0$

Правила замены: где МОЖНО и где НЕЛЬЗЯ заменять

✓

Где заменять МОЖНО:

В сомножителях произведения и частного:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) \cdot \sin(2x)}{\ln(1 + 3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) \cdot 2x}{3x}$$

Предел от такой замены не изменяется и решение упрощается в несколько раз.

✕

Главная ошибка студентов:

НЕЛЬЗЯ заменять в суммах и разностях, если результат взаимно уничтожается в ноль:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x - \sin x}{x^3} \neq \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3} = 0 \quad (\text{ОШИБКА!})$$

Правильный предел равен $1/2$. В разностях нужно сначала преобразовать тригонометрию или раскладывать в ряд Тейлора.

Примеры решения пределов с эквивалентными бесконечно малыми

Пример 1

Вычислить предел $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{\sin(7x)}$

Шаг 1. Проверяем неопределенность:

При $x \to 0$: числитель $\ln(1+0) = 0$, знаменатель $\sin(0) = 0$. Получаем неопределенность [0/0].

Шаг 2. Применяем эквивалентности при $x \to 0$:

  • $\ln(1 + 4x) \sim 4x$
  • $\sin(7x) \sim 7x$

Шаг 3. Подставляем в предел:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{\sin(7x)} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{7x} = \frac{4}{7}$$
Ответ: 4/7
Пример 2

Вычислить предел $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(6x)}{x \cdot \operatorname{tg}(3x)}$

Шаг 1. Подстановка: неопределенность вида [0/0].

Шаг 2. Заменяем бесконечно малые:

  • $1 - \cos(6x) \sim (6x)^2 / 2 = 36x^2 / 2 = 18x^2$
  • $\operatorname{tg}(3x) \sim 3x$

Шаг 3. Вычисляем отношение:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(6x)}{x \operatorname{tg}(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{18x^2}{x \cdot 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{18x^2}{3x^2} = 6$$
Ответ: 6
Пример 3

Вычислить предел $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\sqrt{1 + 2x} - 1}$

Шаг 1. Анализ выражения:

Числитель $e^{3x} - 1 \sim 3x$.

Для корня знаменателя используем формулу $\sqrt{1+u} - 1 \sim u/2$ при $u = 2x$:

$$\sqrt{1 + 2x} - 1 \sim \frac{2x}{2} = x$$

Шаг 2. Находим предел:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\sqrt{1 + 2x} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3$$
Ответ: 3
Справка & Теория

Часто задаваемые вопросы об эквивалентных бесконечно малых

Ответы на популярные вопросы и теоретические нюансы для правильного оформления в тетради

Что такое эквивалентные бесконечно малые функции?

Две бесконечно малые функции α(x) и β(x) при x → x₀ называются эквивалентными (обозначается α ∼ β), если предел их отношения равен единице: lim (α(x) / β(x)) = 1 при x → x₀.

Когда можно заменять функции на эквивалентные в пределах?

Заменять бесконечно малые на эквивалентные можно в сомножителях произведения и частного (дроби). Вся дробь или произведение от такой замены не меняет своего предельного значения.

Почему нельзя заменять эквивалентные бесконечно малые в разности?

Замена в разности f(x) - g(x) запрещена, если главные члены разности взаимно уничтожаются и дают 0. Например, замена tg x - sin x на x - x = 0 ошибочна (правильный предел дает x³/2). В разностях нужно применять тригонометрические преобразования или ряды Тейлора.

Чему эквивалентно 1 - cos(x) при x стремящемся к 0?

Величина 1 - cos(x) эквивалентна x²/2 при x → 0. Это следует из тригонометрической формулы 1 - cos(x) = 2 sin²(x/2) ∼ 2 · (x/2)² = x²/2.

Работают ли формулы для сложных аргументов?

Да! Если аргумент α(x) стремится к нулю при x → x₀, то формулы остаются справедливыми: sin(α(x)) ∼ α(x), e^(α(x)) - 1 ∼ α(x), ln(1 + α(x)) ∼ α(x).