Таблица производных и калькулятор с пошаговым ходом
Все основные формулы дифференцирования в удобных таблицах и интерактивный калькулятор типовых производных (степенных, показательных, тригонометрических и сложных функций).
Калькулятор типовых производных с ходом решения
Выберите тип функции и укажите коэффициенты:
4 золотых правила дифференцирования
Прежде чем брать производные, необходимо помнить четыре базовых правила алгебры производных:
Вынесение константы
Постоянный множитель выносится за знак производной.
Производная суммы и разности
Производная суммы равна сумме производных слагаемых.
Производная произведения
Производная первой на вторую плюс первая на производную второй.
Производная дроби (частного)
В числителе разность с минусом, в знаменателе квадрат знаменателя.
Полная таблица производных функций
| Функция f(x) | Производная f'(x) | Пояснение и частый частный случай |
|---|---|---|
C (константа) | 0 | (7)' = 0, (π)' = 0, (e)' = 0 |
x | 1 | (3x)' = 3 |
xⁿ (степень) | n · xⁿ⁻¹ | (x³)' = 3x², (x⁻¹)' = -1/x² |
√x (квадратный корень) | 1 / (2√x) | Частный случай x^(1/2) |
1 / x | -1 / x² | Частный случай x⁻¹ |
eˣ (экспонента) | eˣ | Производная не изменяет функцию |
aˣ (показательная) | aˣ · ln(a) | (2ˣ)' = 2ˣ · ln(2) |
ln(x) (натуральный логарифм) | 1 / x | При x > 0 |
logₐ(x) | 1 / (x · ln(a)) | Логарифм по основанию a |
sin(x) | cos(x) | Знак плюс сохраняется |
cos(x) | -sin(x) | Обязательно появляется минус! |
tg(x) | 1 / cos²(x) | Или 1 + tg²(x) |
ctg(x) | -1 / sin²(x) | Отрицательный знак |
arcsin(x) | 1 / √(1 - x²) | При |x| < 1 |
arccos(x) | -1 / √(1 - x²) | С минусом |
arctg(x) | 1 / (1 + x²) | Часто встречается в интегралах |
arcctg(x) | -1 / (1 + x²) | С минусом |
Производная сложной функции (цепное правило)
Сложная функция — это «матрешка», когда внутри одной функции находится другая: y = f(u(x)). Главный закон нахождения: дифференцируем внешнюю функцию по внутреннему аргументу и умножаем на производную внутренней функции.
( f(g(x)) )' = f'(g(x)) · g'(x) Пример 1: Производная синуса с коэффициентом (sin(5x))'
1. Внешняя функция — синус: производная от sin(u) равна cos(u).
2. Внутренняя функция — 5x: производная от 5x равна 5.
Результат: (sin(5x))' = cos(5x) · (5x)' = 5 · cos(5x).
Пример 2: Производная скобки в степени ((3x² - 4)⁴)'
1. Внешняя функция — 4-я степень: (u⁴)' = 4u³.
2. Внутренняя функция — (3x² - 4): ее производная равна 6x.
Результат: ((3x² - 4)⁴)' = 4 · (3x² - 4)³ · (3x² - 4)' = 4 · (3x² - 4)³ · 6x = 24x · (3x² - 4)³.
Частые вопросы студентов:
Геометрический смысл производной функции y = f(x) в точке x₀ — это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке: f'(x₀) = tg(α) = k.
Физический смысл — это мгновенная скорость процесса. Если s(t) — закон перемещения материальной точки, то скорость v(t) = s'(t), а ускорение a(t) = v'(t) = s''(t).