Кузнецов. Пределы. Вариант 1, задача 3

Пусть
$$L=\lim_{x\to 0}(\cos x)^{1/x^2}.$$
Возьмём натуральный логарифм:
$$\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}.$$

Для малых $x$ известно разложение
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6).$$
Логарифмируем:$$\ln(\cos x)=\ln\!\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6)\right).$$Используем формулу $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3)$ при $u\to 0$:$$u=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6).$$Тогда$$\ln(\cos x)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3) =-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} -\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2+O(x^6).$$Вычислим квадратичный член:$$-\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 =-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^4}{4} =-\frac{x^4}{8}.$$Собираем члены до $x^4$:$$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^4}{8}+O(x^6) =-\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{8}\right)x^4+O(x^6) =-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+O(x^6).$$

Подставляем полученное разложение в дробь:$$\frac{\ln(\cos x)}{x^2} =\frac{-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+O(x^6)}{x^2} =-\frac12-\frac{x^2}{12}+O(x^4).$$При $x\to 0$ второй член стремится к нулю, следовательно$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=-\frac12.$$

Мы нашли $\ln L=-\frac12$, значит$$L=e^{\,\ln L}=e^{-1/2}.$$

Предел равен $e^{-1/2}$.