Математический анализ Пределы функций Вариант 1 Задача 1
Кузнецов. Пределы. Вариант 1, задача 1
📝 Условие задачи
Найти предел функции:
$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}$$
⚡ Пошаговое решение для тетради
Шаг 1. Подстановка предельной точки
Подставим $x = 2$ в числитель и знаменатель:
- Числитель: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$
- Знаменатель: $2^2 - 12 \cdot 2 + 20 = 4 - 24 + 20 = 0$Получаем неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$.
- Числитель: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$
- Знаменатель: $2^2 - 12 \cdot 2 + 20 = 4 - 24 + 20 = 0$Получаем неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$.
Шаг 2. Разложение многочленов на множители
Так как $x = 2$ является корнем обоих многочленов, выделим множитель $(x - 2)$:1. Для числителя $x^2 - 5x + 6$:
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$2. Для знаменателя $x^2 - 12x + 20$:
$$x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)$$
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$2. Для знаменателя $x^2 - 12x + 20$:
$$x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)$$
Шаг 3. Сокращение дроби и вычисление предела
Сократим общий множитель $(x - 2) \neq 0$ при $x \to 2$:
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 10)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{x - 10}$$Подставим $x = 2$:
$$\frac{2 - 3}{2 - 10} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8} = 0.125$$
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 10)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{x - 10}$$Подставим $x = 2$:
$$\frac{2 - 3}{2 - 10} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8} = 0.125$$
✅ Итоговый ответ:
1/8 (или 0.125)