Решение СЛАУ 3×3 методом Крамера (Кузнецов, вар. 1)

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных:
$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$Раскрываем методом треугольников:
$$\Delta = (2 \cdot 2 \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot 3) + (3 \cdot 1 \cdot 1) - (3 \cdot 2 \cdot 3) - (1 \cdot 1 \cdot 2) - (1 \cdot 2 \cdot 2)$$
$$\Delta = 8 + 3 + 3 - 18 - 2 - 4 = 14 - 24 = -10$$
Так как $\Delta = -10 \neq 0$, система совместна и имеет единственное решение.

Заменяем столбцы коэффициентов столбцом свободных членов $\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$:1. Для переменной $x$:
$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 & 3 \\ 8 & 2 & 1 \\ 9 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -20$$2. Для переменной $y$:
$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 1 & 8 & 1 \\ 3 & 9 & 2 \end{vmatrix} = -30$$3. Для переменной $z$:
$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 7 \\ 1 & 2 & 8 \\ 3 & 1 & 9 \end{vmatrix} = 0$$

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-20}{-10} = 2$$
$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-30}{-10} = 3$$
$$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{0}{-10} = 0$$

$2(2) + 3 + 3(0) = 4 + 3 = 7$ (Верно)
$2 + 2(3) + 0 = 8$ (Верно)
$3(2) + 3 + 2(0) = 9$ (Верно)